Estamos en el tema de estudio de funciones usando la derivada. Si no te acordás de ésto andá al curso, que es la segunda parte de derivadas.  ¡Empecemos!

$ \text{Dom}(f) = \mathbb{R} $


2. Hallamos la derivada de la función
$ f(x) = 3x^5 - 5x^3 + 1 $
$ f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^5 - 5x^3 + 1) $
$ f'(x) = 15x^4 - 15x^2 $

3. Buscamos los puntos críticos:

  3.1. Buscamos los valores del dominio de \( f \) donde la derivada no está definida, comparando los dominios de ambas:
El  $\text{Dom}(f) = \text{Dom}(f') = \Re$. No obtuvimos puntos críticos de acá.
  3.2. Buscamos los valores donde la derivada se hace cero:
Igualamos la derivada a cero:
$ 15x^4 - 15x^2 = 0 $
$ 15x^2(x^2 - 1) = 0 $
$ x^2(x^2 - 1) = 0 $
$ x^2 = 0 \implies x = 0 $
$ x^2 - 1 = 0 \implies x = \pm 1 $

Por lo tanto, los puntos críticos son \( x = -1 \), \( x = 0 \) y \( x = 1 \).

4. Usamos Bolzano (con el dominio y los PCs) para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
Evaluamos la derivada \( f'(x) \) en cada intervalo:

   -> Para \( x \) en Intervalo \( (-\infty, -1) \): \( f'(-2) = 15(-2)^4 - 15(-2)^2 = 240 - 60 = 180 > 0 \). Es decir que \( f \) crece.
-> Para \( x \) en Intervalo \( (-1, 0) \): \( f'(-0,5) = 15(-0,5)^4 - 15(-0,5)^2 = 0,9375 - 3,75 = -2,8125 < 0 \). Es decir que \( f \) decrece.
-> Para \( x \) en Intervalo \( (0, 1) \): \( f'(0,5) = 15(0,5)^4 - 15(0,5)^2 = 0,9375 - 3,75 = -2,8125 < 0 \). Es decir que \( f \) decrece.
-> Para \( x \) en Intervalo \( (1, +\infty) \): \( f'(2) = 15(2)^4 - 15(2)^2 = 240 - 60 = 180 > 0 \). Es decir que \( f \) crece.

5. Evaluamos los máximos y mínimos
Los puntos \( x = -1 \), \( x = 0 \), y \( x = 1 \) son puntos críticos. Analizando el cambio de signo de la derivada:
-> \( x = -1 \): Es un máximo relativo ya que \( f'(x) \) pasa de positivo a negativo.
-> \( x = 0 \): Es un punto de inflexión ya que \( f'(x) \) pasa de negativo a negativo.
-> \( x = 1 \): Es un mínimo relativo ya que \( f'(x) \) pasa de negativo a positivo.
Podemos hallar las coordenadas de los máximos y del mínimo sustituyendo los valores de $x$ en la función \( f(x) \):
$ f(-1) = 3(-1)^5 - 5(-1)^3 + 1 = -3 + 5 + 1 = 3 $
$ f(0) = 3(0)^5 - 5(0)^3 + 1 = 1 $
$ f(1) = 3(1)^5 - 5(1)^3 + 1 = 3 - 5 + 1 = -1 $

Respuesta: 
Intervalo de crecimiento: \( (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) \) Intervalo de decrecimiento: \( (-1, 0) \cup (0, 1) \) Máximo relativo en \( x = -1 \) con coordenada \( (-1, 3) \)

Mínimo relativo en \( x = 1 \) con coordenada \( (1, -1) \)